中間値の定理【使い方】|証明は大学の内容を使って記事の後半で
" 中間値の定理 “の使い方を高校の数学IIIでの典型的な例を用いて解説します。
中間値の定理は、いかにも連続な関数らしい定理です。
具体例で練習を積みながら関数のグラフが連続だということを意識することが大切になる定理です。
定理は難しそうですが、関数のグラフが連続で、つながっていることをイメージすると、使い方が見えてきます。
記事の後半では、大学で扱われる中間値の定理の証明を述べています。
中間値の定理 :数IIIでの使い方
【中間値の定理】
実数値関数 f は閉区間 [a, b] で連続だとする。
そして、この区間における f の最大値を M, 最小値を m とする。
M ≠ m ならば、m < k < M である任意の実数 k に対して、
閉区間 [a, b] 内の点 c が存在し、
f(c) = k となる。
これが、中間値の定理です。
定理の結論以外の内容に当てはまる状況が出てきたら、定理を使うチャンスです。
具体的な連続である実数値関数で、定理を使ってみると、理解が深まるかと思います。
典型例で使い方を確認
f(x) = sin x + xcos x + 2 とする。
この連続関数は、閉区間 [0, π] 内のある点 c において、
f(c) = 0 となる。
この関数 f は連続関数で、
閉区間 [0, π] における議論です。
この区間において、f(0) = 2,
f(π) = －π + 2 となっています。
つまり、
連続関数 f は、[0, π] という閉区間において、
－π + 2 から 2 までの値を必ずとるということになります。
実は、閉区間において定義されている関数は、必ず最大値と最小値をとるという「連続関数についての定理」が背後にあります。
※ この証明は、大学数学の内容になります。
そのため、
[0, π] における最小値を m,
最大値を M とおくと、
m ≦ －π + 2 < 2 ≦ M となっています。
そのため、中間値の定理の k として、
m < k = 0 < M を考えることができます。
よって、中間値の定理から、
[0, π] 内のある点 c において、
f(c) = 0 となります。
この中間値の定理を使った内容を、もう少し丁寧に述べます。
f は連続なので、値域において、
－π + 2 から 2 までの値を必ずとるため、
その間にある 0 という値をどこかでとることになるというわけです。
ここで、連続な、つながっているグラフをイメージすると理解の手助けになります。
π は約3.14 なので、
f(π) = －π + 2 は負の実数です。
f(0) = 2 は正の実数です。
そして、f(x) のグラフは連続関数なので、
値域において、
－π + 2 から 2 までの値をすべて取ります。
そのため、特に 0 という －π + 2 と 2 の間にある値を必ず取っているということになります。
（縦軸の －π + 2 以上 2 以下の値を、連続関数だから全て取るという値域におけるイメージが大切になります。）
f(x) のグラフの概形は不明ですが、
f(c) = 0を満たす実数 c が、閉区間 [0, π] の範囲内に存在するということになります。
※ 中間値の定理を証明するには大学の数学内容を使います。
中間値の定理ですが、ロルの定理と似ています。
【ロルの定理】
実数 a, b が a < b だとする。
関数 f(x) が閉区間 [a, b] で連続、開区間 (a, b) で微分可能とする。
このとき、
f(a) = f(b) ならば、「f'(c) = 0, a < c < b」を満たす実数 c が存在する。
ここからは大学の内容を使って、中間値の定理の証明を目指します。
中間値の定理を示す前の準備
実数全体 R の空でない部分集合 S について、
実数 a が S のどの要素 x に対しても、
x ≦ a となっているときに、a を S の上界といいます。
S に上界が存在するときに、S についての最小の上界のことを S の上限といいます。
実数 b が S のどの要素 x に対しても、
b ≦ x となっているときに、b を S の下界といいます。
S の最大の下界のことを、S の下限といいます。
定理を示すための根幹となる命題を１つ示します。
【命題１】
閉区間 I = [a, b] 上で定義された実数値連続関数 f が、
f(a) < 0 かつ f(b) > 0 だとする。
このとき、
c ∈ I が存在して、f(c) = 0
＜証明＞
A = {x | a ≦ x ≦ b, f(x) ≦ 0} とおきます。
f(a) < 0 だから、a∈A なので、A は空集合ではありません。
また、仮定より、b は A の上界なので、実数の連続性の公理から、A には上限が存在します。
よって、c = sup A とおき、c を A の上限とします。
（a ≦ c ≦ bとなっています。）
f(c) について、
[1] f(c) < 0, [2] f(c) > 0, [3] f(c) = 0 の場合が考えられます。
f(c)=0の場合だけが残る
[1] f(c) < 0 の場合
仮定より、f(b) > 0 なので、b は A の上界で、b は A に含まれていません。
今、f(c) < 0 なので、
c ∈ A だから、c < b
仮定より、f は閉区間 I = [a, b] で連続だから、特に点 c において連続です。
ゆえに、
正の実数 －f(c) > 0 に対して、
正の実数 δ’ が存在し、
x∈I かつ |x － c| < δ’ ならば、
|f(x) － f(c)| < －f(c) となります。
※ これは大学数学で扱うイプシロンデルタ論法での連続関数の定義です。
ここで、
δ = min{|b － c|, δ '} と置きます。
そして、x として、
c + δ/2 を考えると、
|(c + δ/2) － c| = |δ/2| < δ なので、
c + δ/2 は c を中心とする δ 近傍内に含まれていることになります。
つまり、
|f(c + δ/2) － f(c)| < －f(c)
よって、
f(c + δ/2) － f(c) < －f(c)
すなわち、f(c + δ/2) < 0
ところが、
c < c + δ/2 であり、
c は A の上限だったので、
c + δ/2 は A に含まれません。
（c + δ/2 ∈ A とすると、c + δ/2 は、A の上限である c 以下になってしまいます。 ）
a ≦ c + δ/2 < c + δ ≦ c + (b － c) = b
つまり、a ≦ c + δ/2 ≦ b であり、
かつ、c + δ/2 が A に含まれていないことから、
f(c + δ/2) > 0
これは、f(c + δ/2) < 0 に矛盾です。
よって、「[1] f(c) < 0 の場合」は起こり得ないということになります。
[2] f(c) > 0 の場合
このとき、A の上限 c は A に含まれていません。
a は A に含まれていて、
b は A の上界だから、a < c ≦ b
点 c において f は連続だから、
f(c) > 0 という正の実数に対して、
正の実数 δ が存在し、
x∈I かつ |x － c| < δ ならば、
|f(x) － f(c)| < f(c)
この x として、c － δ/2 を考えると、
|(c － δ/2) － c| = |－δ/2| < δ であるので、
|f(c － δ/2) － f(c)| < f(c)
つまり、－f(c) < f(c－δ/2)－f(c)
よって、移項すると、
0 < f(c － δ/2)
A の定義より、c － δ/2 は A に含まれないので、A の上界となります。
c は A の上限だから、
c ≦ c － δ/2
しかし、δ > 0より、
c － δ/2 < c なので、これは矛盾です。
ゆえに、[2] f(c) > 0 の場合は起こり得ないということになります。
以上より、残りの可能性である [3] f(c) = 0 の場合になるということが結論づけられます。【証明完了】
この【命題１】から、中間値の定理を示すための鍵となる命題を２つ得られます。
定理を示すための２つの鍵
【命題２】
閉区間 I = [a, b] 上で定義された連続関数 f について、
f(a) < k < f(b) だとする。
このとき、
閉区間 I = [a, b] 内の実数 c が存在し、
f(c) = k となる。
＜証明＞
x∈I に対して、g(x) = f(x) － k とすると、
関数 g は閉区間 I = [a, b] 上で定義された連続関数であり、
f(a) < k < f(b) より、
g(a) < 0 かつ g(b) > 0
よって、【命題１】より、
閉区間 [a, b] 内の実数 c が存在し、
g(c) = 0
すなわち、f(c) － k = 0 より、
f(c) = k【証明完了】
今まで証明してきた定理は、閉区間の右端の点に対応する値の方が大きいという仮定でした。
仮定で、左端の方が大きいときにも成立するというのが次の【命題３】です。
ただ、このときは、x 軸について折り返すと【命題２】の形になるので、すぐに導かれます。
【命題３】
閉区間 I = [a, b] 上で定義された連続関数 f について、
f(a) > k > f(b) だとする。
このとき、
閉区間 [a, b] 内の実数 c が存在し、
f(c) = k となる。
＜証明＞
x∈I に対して、g(x) = －f(x) とすると、
関数 g(x) は閉区間 I = [a, b] 上で定義された連続関数であり、
f(a) > k > f(b) より、
－f(a) < －k < －f(b)
つまり、g(a) < －k < g(b)
よって、【命題２】より、
閉区間[a, b]内の実数 c が存在し、
g(c) = －k
すなわち、－f(c) = －k より、
f(c) = k【証明完了】
これら【命題２】と【命題３】をまとめたのが最終的な「中間値の定理」です。
中間値の定理の証明
【定理】
閉区間 [a, b] で連続な関数 f が、この区間において最大値 M、最小値 m をもつとする。
このとき、m ≠ M ならば、
m < k < M である任意の実数 k に対して、
閉区間 [a, b] 内のある点 c が存在し、
f(c) = k である。
＜証明＞
閉区間 [a, b] 内の点 d と点 e において、
f(d) = m、f(e) = M とします。
仮定より、
m ≠ M だから、d ≠ e です。
[ア] d < e のとき
f は閉区間 [d, e] における連続関数でもあり、
f(d) = m < M = f(e) だから、
【命題２】より、
閉区間[d, e]内の点 c が存在し、
f(c) = k です。
今、
閉区間 [d, e] は、閉区間 [a, b] の部分集合だから、
点 c は閉区間 [a, b] 内の点です。
よって、結論が示されました。
[イ] d > e のとき
ｆは閉区間 [e, d] における連続関数でもあり、
f(e) = M > m = f(d) だから、
【命題３】より、
閉区間 [e, d] 内の点 c が存在して、
f(c) = k です。
今、
閉区間 [e, d] は、閉区間 [a, b] の部分集合だから、
点 c は閉区間 [a, b] 内の点です。
よって、結論が示されました。【証明完了】
これで中間値の定理の証明が完成しました。
はじめに高校で学習する定理の使い方を述べましたが、数III内容の記事も投稿しています。
【数学IIIの記事】
読んで頂き、ありがとうございました。
それでは、今回のブログ記事を終了します。