可解群 – 定義 | 基本的な性質を証明する
" 可解群 “の定義から始めて、基本的な性質を証明します。
可解群の部分群も可解であり、可解群の準同型像も可解です。
まず定義、そして定義と同値な条件を述べます。
それらに基づいて、可解群の基本的な性質を証明します。
※ この記事では、群の単位元を e と表しています。
可解群 – 定義：同値な書き換え
【定義】
G を群とする。
G = G0 ⊃ G1 ⊃ … ⊃ Gn = {e} という正規列で、
各剰余群 Gi / Gi+1 が可換群（アーベル群）となっているものが存在するとき、G を可解群と定義する。
この可解群の定義には、同値な書き換えがあります。
交換子群列を用いた可解群の定義の書き換えは、次です。
【定義の同値な書き換え】
群 G が可解群であることと、ある自然数 r が存在して、長さ r の交換子群列が単位群となることが同値である。
※ 交換子群という記事で、同値であることを示しています。
この r 次の交換子群が単位群となるという書き換えは、可解群を学習するときの基本となります。
この書き換えを踏まえた上で、有限群が単純群であるときの基礎的な内容を１つ考えてみます。
群 G が、G と 単位群以外に正規部分群をもたないとき、G を単純群といいます。
単純群が可解群だと、どういうことなのかを示す命題を証明します。
有限単純群が可解なとき
【命題１】
G を位数が 2 以上の有限群とする。
G が単純群かつ可解群だとすると、G は素数位数の巡回群である。
＜証明＞
G が可解群なので、[G, G] という交換子群は、G に真に含まれることになります。
これは、[G, G] = G とすると、先ほどの【定義の書き換え】の内容に反することになるためです。
同様に、可解群であることから、交換子群列は有限の長さで単位群に到達します。
ここで、G が可換群（アーベル群）でないとすると、
D1(G) = [G, G] が {e} とは異なることになります。
一般に D1(G) は G の正規部分群であり、
G / D1(G) が可換群であることから、
G ⊃ D1(G) ⊃ {e} が正規列で、
D1(G) は G や {e} と異なる正規部分群ということになります。
これは、G が単純群であるという仮定に矛盾します。
そのため、G は可換群でなければなりません。
さらに、
G の位数が素数位数でなければ、
シローの定理から、素数位数の真部分群が存在することになります。
今、G は可換群なので、どの部分群も G の正規部分群だから、G が単純群ということに反します。
したがって、G の位数は素数位数でなければなりません。
そして、素数位数の群は巡回群となっています。
これで、有限群 G が単純群であり、かつ可解群であるとき、G が素数位数の巡回群であることを示すことができました。【証明完了】
この証明では、交換子群についての内容を使いました。
状況によって、可解かどうかを判断しやすいものを使って考察を進めることになります。
可解群の部分群も可解
【命題２】
G を可解群とし、H を G の部分群とする。
このとき、部分群 H も可解群である。
＜証明＞
仮定より、【同値な書き換え】から、
G ⊃ D1(G) ⊃ … ⊃ Dr(G) = {e} と、有限の長さで交換子群列が単位群に辿り着きます。
各 i 次の交換子群（導来群）について、
Di+1(G) = [Gi, Gi] は
Di+1(H) = [Hi, Hi] を含みます。
そのため、H についても、
H ⊃ D1(H) ⊃ … ⊃ Dr(H) = {e} と有限の長さで交換子群列が単位群に到達します。
可解群の定義の書き換えから、H も可解であるということになります。【証明完了】
同じ要領で、可解群の剰余群も可解であることが分かります。
可解群の剰余群も可解
【命題３】
可解群 G の正規部分群を N とする。
このとき、G / N も可解である。
＜証明＞
Di(G / N) = Di(G) / N となります。
また、G が可解だから、
ある r が存在し、Dr(G) = {e} です。
そのため、
Dr(G /N) が単位群となり、
G / N も可解です。【証明完了】
交換子群を使いながら、もう１つ基本的な性質を示します。
可解群の準同型像も可解
【命題４】
群 G から群 G ' への群準同型写像を f とする。
このとき、
G が可解群であるとすると、f(G) も可解群である。
＜証明＞
f(D1(G)) = f([G, G])
= [f(G), f(G)] = D1(f(G)) です。
このことを帰納的に繰り返します。
自然数 i について、
f(Di(G)) = Di(f(G)) だとすると、次のようになります。
これで、どの自然数 n についても、
f(Dn(G)) = Dn(f(G)) ということが帰納法によって示せました。
また、G が可解群であることから、
ある自然数 r が存在して、
Dr(G) = {e} なので、
{f(e)} = f(Dr(G)) = Dr(f(G)) です。
f(e) は f(G) の単位元なので、f(G) の交換子群列は長さ r で単位群となるということになります。
よって、f(G) も可解です。【証明完了】
【命題４】より、
f が群同型写像のときには、
逆写像も群同型写像であることから、
f(G) が可解群ならば G = f-1(f(G)) も可解群となります。
すなわち、
群 G1 と群 G2 が群同型であるとき、
G1 が可解群であることと、G2 が可解群であることが同値となります。
対偶をとると、
G1 が可解群でないことと、G2 が可解群でないことも同値になります。
この内容を 5 次以上の対称群の考察に利用します。
5次以上のS(X)に応用
自然数 i と k は、i < k となっているとします。
X = {1, … , i} とし、S(X) が i 次対称群です。
Y = {1, … , i, i+1, … , k} とし、S(Y) が k 次対称群です。
S(X) から、S(Y) への単射である群準同型写像を定義することを考えます。
各 σ∈S(X) に対して、
σ’ : Y → Y を次のように定義します。
1 ≦ y ≦ i に対して、
σ'(y) = σ(y) と定めます。
既に与えられた σ を利用して、σ’ を定義するというわけです。
i+1 ≦ y ≦ k に対しては、
σ'(y) = y だと定義します。
これで、集合 Y の各元に対して、σ’ による像を定義しました。
σ’ は、1 以上 i 以下の自然数を置換します。
そして、i+1 以上 k 以下の自然数については、動かさないという置換をします。
そのため、σ’ は、Y から Y への全単射となっています。
そのため、σ’∈S(Y) です。
次に、f : S(X) → S(Y) を、
σ∈S(X) に対して、
f(σ) = σ’ と定義します。
すると、f が群準同型写像である単射だと分かります。
そのため、S(X) は S(Y) へ埋め込まれます。
g∈S(X) に対して、f(g) を対応させることで、
S(X) から f(S(X)) への群同型写像が定義できます。
そのため、S(X) と f(S(X)) は群として同型です。
そして、f(S(X)) は、S(Y) の部分群です。
これらの内容を踏まえると、
5次交代群は、6次以上の交代群に埋め込まれているということになります。
先ほど述べた群同型写像で対応する群も可解ではないことを使うと次のことが分かります。
5次交代群が可解群でないことを示すと、6次以上の交代群も可解でないということが自動的に決まります。
さらに、可解群の部分群も可解ということから、
5次以上の対称群は可解でないということになります。
肝心の5次交代群が可解群でないということは、リンク先の記事で示しています。
これで今回の記事を終了します。
読んで頂き、ありがとうございました。